微积分学示例

$\cos (x) + \sqrt{y} = 5$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 5$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

解题步骤 3.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

解题步骤 3.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

解题步骤 3.3.5

在公分母上合并分子。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

解题步骤 3.3.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

解题步骤 3.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

解题步骤 3.3.7

将负号移到分数的前面。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

解题步骤 3.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

解题步骤 3.3.9

组合 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $y'$ 。

$- \sin (x) + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

解题步骤 3.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \sin (x) + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x)$

解题步骤 4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \sin (x) = 0$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $\sin (x)$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \sin (x)$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.1.1.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.1.1.3.2

重写表达式。

$y' = \sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 $\sin (x) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y' = 2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $2 \sin (x) y^{\frac{1}{2}}$ 中的因式重新排序。

$y' = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 y^{\frac{1}{2}} \sin (x)$

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