微积分学示例

$\ln (y) = x \ln (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{y} y'$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $y'$ 。

$\frac{y'}{y}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 3.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \ln (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $y$ 。

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

解题步骤 5.2.1.1.2

重写表达式。

$y' = (1 + \ln (x)) y$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $(1 + \ln (x)) y$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$y' = 1 y + \ln (x) y$

解题步骤 5.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y' = y + \ln (x) y$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

将 $y + \ln (x) y$ 中的因式重新排序。

$y' = y + y \ln (x)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$

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