微积分学示例

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + \tan (y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1 + \tan (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ 相加。

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

解题步骤 3.6

将 $1 + \tan (y)$ 乘以 $1$ 。

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ 。

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将 $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ 中的因式重新排序。

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $\tan (y)$ 。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

解题步骤 5.3.3

将 $\tan (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

解题步骤 5.3.4

将 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 转换成 $\tan (y)$ 。

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

解题步骤 5.4

将 $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ 中的每一项除以 $x \sec^{2} (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ 中的每一项都除以 $x \sec^{2} (y)$ 。

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $\sec^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

从 $\sec^{2} (y)$ 中分解出因数 $\sec (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

分离分数。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.3

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.5

分离分数。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.6

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.8

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.9

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\cos (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10

乘以 $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ 。

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解题步骤 5.4.3.1.10.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (y)}{x}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10.2

组合 $\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ 和 $\cos (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10.3

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10.4

对 $\cos (y)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.10.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.11

化简分母。

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解题步骤 5.4.3.1.11.1

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.11.2

对 $\frac{1}{\cos (y)}$ 运用乘积法则。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.11.3

一的任意次幂都为一。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.12

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.13

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.14

从 $\sec^{2} (y)$ 中分解出因数 $\sec (y)$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

解题步骤 5.4.3.1.15

分离分数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

解题步骤 5.4.3.1.16

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

解题步骤 5.4.3.1.17

将 $\tan (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

解题步骤 5.4.3.1.18

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

解题步骤 5.4.3.1.19

将 $\cos (y)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

解题步骤 5.4.3.1.20

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.20.1

约去公因数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

解题步骤 5.4.3.1.20.2

重写表达式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.21

分离分数。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.22

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.23

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.24

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.25

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.26

组合 $\cos (y)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

解题步骤 5.4.3.1.27

组合 $\sin (y)$ 和 $\frac{\cos (y)}{x}$ 。

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

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