微积分学示例

$y = - \frac{x}{y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $\frac{x}{y}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

解题步骤 3.6.2

将 $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去公因数。

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

重写表达式。

$y' y^{2} = - (y - x y')$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

解题步骤 5.2.1.3

乘以 $- (- x y')$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y' y^{2} = - y + x y'$

解题步骤 5.2.1.4

将 $x$ 和 $y'$ 重新排序。

$y' y^{2} = - y + y' x$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- y$ 和 $y' x$ 重新排序。

$y' y^{2} = y' x - y$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $y' x$ 。

$y' y^{2} - y' x = - y$

解题步骤 5.3.2

从 $y' y^{2} - y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

解题步骤 5.3.2.3

从 $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y' (y^{2} - x) = - y$

解题步骤 5.3.4

将 $y' (y^{2} - x) = - y$ 中的每一项除以 $y^{2} - x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $y' (y^{2} - x) = - y$ 中的每一项都除以 $y^{2} - x$ 。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

解题步骤 5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.2.1

约去 $y^{2} - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

解题步骤 5.3.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

解题步骤 5.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$

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