微积分学示例

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin^{4} (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ 转换成 $\sec^{3} (x)$ 。

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x)$

解题步骤 4.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.4.3

一的任意次幂都为一。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

解题步骤 4.4.5

组合 $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.5.2

分离分数。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

解题步骤 4.5.4

乘以 $1$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x)$

解题步骤 4.5.5

分离分数。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

解题步骤 4.5.6

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.5.7

用 $2$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

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