微积分学示例

$y = x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.5

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y'$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = 0$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $2 y^{3} x$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - y' = - 2 y^{3} x$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y^{2}$ 。

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4

从 $3 x^{2} y^{2} y' + 2 x^{3} y y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $3 x^{2} y^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{2} y^{2}) + 2 x^{3} y y' - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4.2

从 $2 x^{3} y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) - y' = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4.3

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4.4

从 $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (2 x^{3} y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.4.5

从 $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$

解题步骤 5.5

将 $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 中的每一项除以 $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1) = - 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 中的每一项都除以 $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 。

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.2

从 $- 2 y^{3} x - 3 x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2} x$ 。

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解题步骤 5.5.3.2.1

从 $- 2 y^{3} x$ 中分解出因数 $y^{2} x$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) - 3 x^{2} y^{2}}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.2.2

从 $- 3 x^{2} y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2} x$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.2.3

从 $y^{2} x (- 2 y) + y^{2} x (- 3 x)$ 中分解出因数 $y^{2} x$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- 2 y - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.3

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.4

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y) - (3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.5

从 $- (2 y) - (3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.6

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.6.1

将 $- (2 y + 3 x)$ 重写为 $- 1 (2 y + 3 x)$ 。

$y' = \frac{y^{2} x (- 1 (2 y + 3 x))}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 5.5.3.6.3

将 $- \frac{(y^{2} x) (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x (2 y + 3 x)}{3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y - 1}$

微积分学 示例

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