微积分学示例

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.2

合并 $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

解题步骤 3

从 $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $- 2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

解题步骤 3.3

从 $\sin^{1} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 3.4

从 $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$π (0)$

解题步骤 9.1.2

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 9.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

解题步骤 9.2.2

化简。

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解题步骤 9.2.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + 0 π$

解题步骤 9.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{6} + 0$

解题步骤 9.2.2.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 9.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{6}$ 。

$x = 0, \frac{π}{6}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.3.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

解题步骤 9.3.2

化简。

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解题步骤 9.3.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

解题步骤 9.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{5 π}{6} + 0$

解题步骤 9.3.2.2

将 $\frac{5 π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 9.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

解题步骤 9.4

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 9.4.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$π (1)$

解题步骤 9.4.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.4.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $π$ 。

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$

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