微积分学示例

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$

解题步骤 1.2

对 $4 x^{2} - 8 x$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.3

在方程 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ 中，用 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 代替 $4 x^{2} - 8 x$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = - 4$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = - 4 + 4$

解题步骤 1.5

对 $y^{2} + 4 y$ 进行配方。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 。

${(y + 2)}^{2} - 4$

解题步骤 1.6

在方程 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ 中，用 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 代替 $y^{2} + 4 y$ 。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

解题步骤 1.8

化简 $- 4 + 4 + 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 + 4$

解题步骤 1.8.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $4$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 2$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 1$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(1, - 2)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{4 - 1}$

解题步骤 5.3.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{3}$

解题步骤 6

求顶点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 2 + 2)$

解题步骤 6.3

化简。

$(1, 0)$

解题步骤 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 2 - (2))$

解题步骤 6.6

化简。

$(1, - 4)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

解题步骤 7

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 2 + \sqrt{3})$

解题步骤 7.3

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(1, - 2 - (\sqrt{3}))$

解题步骤 7.5

化简。

$(1, - 2 - \sqrt{3})$

解题步骤 7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

解题步骤 8

求离心率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

解题步骤 8.3.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

离心率： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例