微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $x (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{- 2 + 1}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{- 1}$

解题步骤 4.2.2.3

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$- 4$

解题步骤 4.3

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

解题步骤 4.3.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (- 2, - 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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