微积分学示例

$y = 3 x^{2} + 4 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 4$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$6 x = - 4$

解题步骤 3.2

将 $6 x = - 4$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $6 x = - 4$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 4

求在 $x = - \frac{2}{3}$ 处的原函数 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \frac{2}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.7

乘以 $4 (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.1.7.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

解题步骤 4.2.1.7.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 4.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 4.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

解题步骤 4.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{4}{3}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ 的水平切线为 $y = - \frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{4}{3}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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