微积分学示例

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

从 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 3.1.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

解题步骤 3.1.1.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.1.1.4

从 $6 (x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 3.1.1.5

从 $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

解题步骤 3.1.2

因数。

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解题步骤 3.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 3.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 3.1.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.5

最终解为使 $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

解题步骤 4

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = 5 - 12 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$f (1) = - 7 + 1$

解题步骤 4.2.2.3

将 $- 7$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 6$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 5

求在 $x = - 2$ 处的原函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 16$ 和 $12$ 相加。

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 4$ 和 $24$ 相加。

$f (- 2) = 20 + 1$

解题步骤 5.2.2.3

将 $20$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2) = 21$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $21$ 。

$21$

解题步骤 6

函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ 上的水平切线是 $y = - 6, y = 21$ 。

$y = - 6, y = 21$

解题步骤 7

微积分学 示例

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