微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{3} - 4 x$ 。

$x^{3} - 4 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{3} - 4 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 4 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{3} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 2, 2$ 。

$0, - 2, 2$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = - 27 + 12$

解题步骤 5.2.2

将 $- 27$ 和 $12$ 相加。

$f' (- 3) = - 15$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 15$ 。

$- 15$

解题步骤 5.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $- 15$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 2)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 2, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 1 + 4$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 1) = 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(- 2, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 1 - 4$

解题步骤 7.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (1) = - 3$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = 27 - 12$

解题步骤 8.2.2

从 $27$ 中减去 $12$ 。

$f' (3) = 15$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 8.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $15$ 。由于其值为正，函数在 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 2, 0), (2, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 2), (0, 2)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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