微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 1$ 。

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $4 x^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $4 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.7

从 $4 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 4 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = {(4 x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

求微分。

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解题步骤 1.2.2.1

将 ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.2

根据加法法则， $- 4 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.2.7

将 $- 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $4 x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4

求微分。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.2

根据加法法则， $4 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.7.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.7.2

将 $8$ 移到 $4 x^{2} - 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.7.3

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.2

将 ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.4.2

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 1.2.5.3.1.6.1

将 $16$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.6.2

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.6.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 1.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.9.1

将 $- 4$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.9.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.10.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.10.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.10.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.3

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.6

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.7

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.1.8

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.2

将 $- 64 x^{3}$ 和 $64 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.1.12.3

将 $256 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.2

将 $- 128 x^{5}$ 和 $256 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.3.3

从 $- 8 x$ 中减去 $16 x$ 。

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.4.1

从 $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.1.1

从 $128 x^{5}$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.1.2

从 $64 x^{3}$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.1.3

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.1.4

从 $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.1.5

从 $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ 中分解出因数 $8 x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.5.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.4.1.1

从 $8 u$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4.1.2

把 $8$ 重写为 $- 4$ 加 $12$

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.5.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u - 1$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.6

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.4.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.5

化简分母。

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解题步骤 1.2.5.5.1

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.5.4

对 $(2 x + 1) (2 x - 1)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.6

约去 $2 x + 1$ 和 ${(2 x + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.6.1

从 $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $2 x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.6.2.1

从 ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

解题步骤 1.2.5.6.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

解题步骤 1.2.5.6.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.7

约去 $2 x - 1$ 和 ${(2 x - 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.7.1

从 $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.7.2.1

从 ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

解题步骤 1.2.5.7.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

解题步骤 1.2.5.7.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ 。

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.3

将 $4 x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $4 x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$4 x^{2} = - 3$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $4 x^{2} = - 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

将 $4 x^{2} = - 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

解题步骤 2.3.3.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

将 $- \frac{3}{4}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.2

从 $3$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.3

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.3

组合 $\frac{i}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $8$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 0.8$ 乘以 $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 0.2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

从 $- 0.2$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.5

对 $0.8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.6

对 $- 1.2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $0.512$ 乘以 $- 1.728$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $- 2.432$ 除以 $- 0.884736$ 。

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $2.74884259$ 。

$2.74884259$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $2.74884259$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $8$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $0.8$ 乘以 $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0.2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $2$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

从 $0.2$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.5

对 $1.2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.6

对 $- 0.8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $1.728$ 乘以 $- 0.512$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $2.432$ 除以 $- 0.884736$ 。

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 2.74884259$ 。

$- 2.74884259$

解题步骤 6.3

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 2.74884259$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例