微积分学示例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 3$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.2.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

将 ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.3

将 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 3$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

从 ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2.3

从 $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 ${(x^{2} + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.6.3

重写表达式。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.16

组合 $6$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.17

化简。

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解题步骤 2.2.17.1

运用分配律。

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.17.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.17.2.1

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.2.17.2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $18$ 。

$- 18 x^{2} = - 18$

解题步骤 3.3.2

将 $- 18 x^{2} = - 18$ 中的每一项除以 $- 18$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- 18 x^{2} = - 18$ 中的每一项都除以 $- 18$ 。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $- 18$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $- 18$ 除以 $- 18$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 中求得的点为 $(1, \frac{1}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, \frac{1}{4})$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

解题步骤 4.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.3.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 4.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 中求得的点为 $(- 1, \frac{1}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, \frac{1}{4})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 21.78$ 和 $18$ 相加。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1.21$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $4.21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 3.78$ 除以 $74.618461$ 。

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.0506577$ 。

$- 0.0506577$

解题步骤 6.3

在 $- 1.1$ ，二阶导数为 $- 0.0506577$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

解题步骤 7.2.3

约去 $18$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 7.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $0.\overline{6}$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 1, 1)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 1)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 21.78$ 和 $18$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $1.21$ 和 $3$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $4.21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 3.78$ 除以 $74.618461$ 。

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.0506577$ 。

$- 0.0506577$

解题步骤 8.3

在 $1.1$ ，二阶导数为 $- 0.0506577$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(1, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ 。

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例