微积分学示例

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

解题步骤 1

将 $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 书写为一个函数。

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $42 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $42$ 。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 42 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.4.3

将 $- 42$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

解题步骤 2.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.5.1

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

解题步骤 2.1.5.2

将 $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $5$ 乘以 $- 6$ 。

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $210$ 对于 $x$ 是常数，所以 $210 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.3.3

将 $4$ 乘以 $210$ 。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

解题步骤 2.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.2.4.1

因为 $- 42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 42$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ 。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ 中分解出因数 $- 30 x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 30 x^{4}$ 中分解出因数 $- 30 x^{3}$ 。

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $840 x^{3}$ 中分解出因数 $- 30 x^{3}$ 。

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ 中分解出因数 $- 30 x^{3}$ 。

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 28$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 28$ 设为等于 $0$ 。

$x - 28 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $28$ 。

$x = 28$

解题步骤 3.6

最终解为使 $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 28$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $42$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 42$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 19$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $0$ 和 $19$ 相加。

$f (0) = 19$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $19$ 。

$19$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 中求得的点为 $(0, 19)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 19)$

解题步骤 4.3

将 $28$ 代入 $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $28$ 替换变量 $x$ 。

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $28$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $481890304$ 。

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $28$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $42$ 乘以 $17210368$ 。

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $- 42$ 乘以 $28$ 。

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- 481890304$ 和 $722835456$ 相加。

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $240945152$ 中减去 $1176$ 。

$f (28) = 240943976 + 19$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $240943976$ 和 $19$ 相加。

$f (28) = 240943995$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $240943995$ 。

$240943995$

解题步骤 4.4

通过将 $28$ 代入 $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ 中求得的点为 $(28, 240943995)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(28, 240943995)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 19), (28, 240943995)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 30$ 乘以 $0.0001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

解题步骤 6.2.1.4

将 $840$ 乘以 $- 0.001$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

解题步骤 6.2.2

从 $- 0.003$ 中减去 $0.84$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.843$ 。

$- 0.843$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.843$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 28)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $14$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $14$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 30$ 乘以 $38416$ 。

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $14$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

解题步骤 7.2.1.4

将 $840$ 乘以 $2744$ 。

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1152480$ 和 $2304960$ 相加。

$f'' (14) = 1152480$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1152480$ 。

$1152480$

解题步骤 7.3

在 $14$ 处，二阶导数为 $1152480$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, 28)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 28)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(28, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $28.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $28.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 30$ 乘以 $623483.9521$ 。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $28.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

解题步骤 8.2.1.4

将 $840$ 乘以 $22188.041$ 。

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

解题步骤 8.2.2

将 $- 18704518.563$ 和 $18637954.44$ 相加。

$f'' (28.1) = - 66564.123$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 66564.123$ 。

$- 66564.123$

解题步骤 8.3

在 $28.1$ ，二阶导数为 $- 66564.123$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(28, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(28, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0, 19), (28, 240943995)$ 。

$(0, 19), (28, 240943995)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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