微积分学示例

$x^{4} - 2 x^{2}$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 2 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 4$ 。

$12 x^{2} - 4$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$12 x^{2} = 4$

解题步骤 3.3

将 $12 x^{2} = 4$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $12 x^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{4}{12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

约去 $9$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9})$

解题步骤 4.1.2.1.8

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.8.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 4.1.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.8.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.1.8.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.1.8.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3}$

解题步骤 4.1.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $- \frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{9}$

解题步骤 4.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{9}$

解题步骤 4.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{9}$

解题步骤 4.1.2.7

最终答案为 $- \frac{5}{9}$ 。

$- \frac{5}{9}$

解题步骤 4.2

通过将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

解题步骤 4.3

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6

约去 $9$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.7.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

解题步骤 4.3.2.1.7.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 4.3.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 4.3.2.1.9

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.10.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.10.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9})$

解题步骤 4.3.2.1.12

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.12.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 4.3.2.1.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.12.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.1.12.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.1.12.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.13

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3}$

解题步骤 4.3.2.1.14

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.2.2

要将 $- \frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 4.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3}{9}$

解题步骤 4.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{9}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{9}$

解题步骤 4.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{9}$

解题步骤 4.3.2.7

最终答案为 $- \frac{5}{9}$ 。

$- \frac{5}{9}$

解题步骤 4.4

通过将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.67735026$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.67735026$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.45880338$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

解题步骤 6.2.2

从 $5.50564064$ 中减去 $4$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $1.50564064$ 。

$1.50564064$

解题步骤 6.3

在 $- 0.67735026$ 处，二阶导数为 $1.50564064$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 4$

解题步骤 7.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f'' (0) = - 4$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 7.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 4$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.67735026$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.67735026$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.45880338$ 。

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

解题步骤 8.2.2

从 $5.50564064$ 中减去 $4$ 。

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $1.50564064$ 。

$1.50564064$

解题步骤 8.3

在 $0.67735026$ 处，二阶导数为 $1.50564064$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ 。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例