微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2} + 7}$ 重写为 ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

解题步骤 1.1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

将 ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x^{2} + 7)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 7$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $x^{2} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2

从 ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ 中分解出因数 $x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 7)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 7$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ 中分解出因数 $x^{2} + 7$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.5.2.3

从 $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 7$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

解题步骤 1.2.6

约去公因数。

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解题步骤 1.2.6.1

从 ${(x^{2} + 7)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 7$ 。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.6.3

重写表达式。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ 。

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18

化简。

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解题步骤 1.2.18.1

运用分配律。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.3

从 $- 6 x^{2} + 14$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.18.3.1

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.3.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.3.3

从 $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.5

将 $7$ 重写为 $- 1 (- 7)$ 。

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.6

从 $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.7

将 $- (3 x^{2} - 7)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 7)$ 。

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.8

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.2.18.10

将 $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $3 x^{2} - 7$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 x^{2} - 7 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$3 x^{2} = 7$

解题步骤 2.3.3

将 $3 x^{2} = 7$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $3 x^{2} = 7$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{7}{3}$

解题步骤 2.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

解题步骤 2.3.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\sqrt{\frac{7}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.5.3.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.5.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.3.5.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.3.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.3.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.5.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.3.5.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 2.3.5.4.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去 $21$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

解题步骤 3.1.2.1.5

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.6

组合 $7$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.8

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1.8.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.8.2

将 $7$ 和 $21$ 相加。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

解题步骤 3.1.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

解题步骤 3.1.2.3

将 $\frac{3}{28}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $\frac{3}{28}$ 。

$\frac{3}{28}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ 中求得的点为 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

解题步骤 3.3

将 $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.6

约去 $21$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

解题步骤 3.3.2.1.7

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.8

组合 $7$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.9

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.10

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1.10.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.10.2

将 $7$ 和 $21$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

解题步骤 3.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

解题步骤 3.3.2.3

将 $\frac{3}{28}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

解题步骤 3.3.2.4

最终答案为 $\frac{3}{28}$ 。

$\frac{3}{28}$

解题步骤 3.4

通过将 $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ 中求得的点为 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.62752523$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.62752523$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2.64883837$ 。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $7.94651513$ 中减去 $7$ 。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 1.62752523$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2.64883837$ 和 $7$ 相加。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $9.64883837$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.94651513$ 。

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $1.89303027$ 除以 $898.30764509$ 。

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $0.00210732$ 。

$0.00210732$

解题步骤 5.3

在 $- 1.62752523$ 处，二阶导数为 $0.00210732$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $- 14$ 和 $343$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $7$ 。

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

从 $343$ 中分解出因数 $7$ 。

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

解题步骤 6.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{2}{49}$ 。

$- \frac{2}{49}$

解题步骤 6.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 0.04081632$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.62752523$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $1.62752523$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2.64883837$ 。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.3

从 $7.94651513$ 中减去 $7$ 。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $1.62752523$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $2.64883837$ 和 $7$ 相加。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $9.64883837$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.94651513$ 。

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $1.89303027$ 除以 $898.30764509$ 。

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0.00210732$ 。

$0.00210732$

解题步骤 7.3

在 $1.62752523$ 处，二阶导数为 $0.00210732$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ 。

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例