微积分学示例

$y = x - \sin (x)$

解题步骤 1

将 $y = x - \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x - \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - - \sin (x)$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 2.2.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sin (x)$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$f'' (x) = \sin (x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\sin (x)$ 。

$\sin (x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.5

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.8

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

通过将代入 $f (x) = x - \sin (x)$ 中求得的点为 $(,)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(,)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty,)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $\sin (- 0.1)$ 。

$\sin (- 0.1)$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.09983341$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty,)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty,)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $\sin (0.1)$ 。

$\sin (0.1)$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.09983341$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(,)$ 。

$(,)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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