微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 3$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 3) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (3 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6.3.2.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 3$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.5.2.3

从 $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

解题步骤 1.1.2.6

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.1

从 ${(x^{2} + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 3$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 6 (\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

解题步骤 1.1.2.16

组合 $6$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.17

化简。

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解题步骤 1.1.2.17.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.17.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.17.2.1

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.17.2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $18$ 。

$- 18 x^{2} = - 18$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 18 x^{2} = - 18$ 中的每一项除以 $- 18$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $- 18 x^{2} = - 18$ 中的每一项都除以 $- 18$ 。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去 $- 18$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

用 $- 18$ 除以 $- 18$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 18 {(- 4)}^{2} + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = \frac{- 288 + 18}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 288$ 和 $18$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $16$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

解题步骤 4.2.2.3

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = \frac{- 270}{6859}$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 4) = - \frac{270}{6859}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $- \frac{270}{6859}$ 。

$- \frac{270}{6859}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

解题步骤 5.2.3

约去 $18$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = \frac{- 18 {(4)}^{2} + 18}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{- 18 \cdot 16 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 18$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = \frac{- 288 + 18}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 288$ 和 $18$ 相加。

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{- 270}{{(16 + 3)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $16$ 和 $3$ 相加。

$f'' (4) = \frac{- 270}{19^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = \frac{- 270}{6859}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (4) = - \frac{270}{6859}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{270}{6859}$ 。

$- \frac{270}{6859}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例