微积分学示例

$\int \frac{x - 3}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x - 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x - 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x - 3) x^{- 3} d x$

$\int (x - 3) x^{- 3} d x$

$\int (x - 3) x^{- 3} d x$

解题步骤 2

乘以 $(x - 3) x^{- 3}$ 。

$\int x \cdot x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 - 3} - 3 x^{- 3} d x$

$\int x^{1 - 3} - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{- 2} - 3 x^{- 3} d x$

$\int x^{- 2} - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 2} d x + \int - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int - 3 x^{- 3} d x$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C - 3 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 8.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$- \frac{1}{x} - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{1}{x} + 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$