微积分学示例

$\int \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d}{d x} [\int \sin (2 x) \frac{1}{\sin (x)} d x]$

解题步骤 2

将 $\sin (2 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{d}{d x} [\int \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} d x]$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\int \sin (2 x) \frac{1}{\sin (x)} d x]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\int \sin (2 x) \csc (x) d x]$

解题步骤 4

$\int \sin (2 x) \csc (x) d x$ 是 $\sin (2 x) \csc (x)$ 的不定积分，因此，根据定义， $\frac{d}{d x} [\int \sin (2 x) \csc (x) d x]$ 为 $\sin (2 x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.1

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\sin (2 x) \csc (x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\sin (2 x) \csc (x)$ 的因式。

$\csc (x) \sin (2 x)$

解题步骤 5.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (2 x)$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4

使用正弦倍角公式。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.5.2

用 $2 \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$2 \cos (x)$

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