微积分学示例

$\int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{1} d x)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.2

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3}$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.6

要将 $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.7

组合 $- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (e) e^{3} - \frac{1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.11

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.11.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (e) e^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 6.3.11.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3} - \frac{\ln (1)}{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (e) e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{1 e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2.2

将 $e^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3} - (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2.3

运用分配律。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} - - \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2.4

乘以 $- - \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - \ln (1)}{3}$

解题步骤 7.2.5

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} - 0}{3}$

解题步骤 7.2.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} + 0}{3}$

解题步骤 7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{3} + \frac{- e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{e^{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 7.5

要将 $e^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 7.6

组合 $e^{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3}{3} - \frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 7.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3}}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 7.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e^{3} \cdot 3 - e^{3} + 1}{3}}{3}$

解题步骤 7.9

将 $3$ 移到 $e^{3}$ 的左侧。

$\frac{\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{3}}{3}$

解题步骤 7.10

从 $3 e^{3}$ 中减去 $e^{3}$ 。

$\frac{\frac{2 e^{3} + 1}{3}}{3}$

解题步骤 7.11

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 7.12

乘以 $\frac{2 e^{3} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 7.12.1

将 $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 7.12.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$

小数形式：

$4.57456376 \dots$

微积分学 示例

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