微积分学示例

$\int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

代入并化简。

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解题步骤 3.1.1

计算 $x \sin (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π})$

解题步骤 3.1.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(π \sin (π)) + 0 \sin (0) - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$π \sin (π) + 0 - ((- \cos (π)) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3.2

将 $π \sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$π \sin (π) - (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$π \sin (0) - (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 3.3.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$0 - (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 3.3.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$0 - (- - \cos (0) + 1)$

解题步骤 3.3.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - (- - 1 + 1)$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (1 + 1)$

解题步骤 3.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 - 1 \cdot 2$

解题步骤 3.3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - 2$

解题步骤 3.3.10

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

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