微积分学示例

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2}} x$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{x^{2}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = e^{4}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

解题步骤 2.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{u_{2}}{2}$ 在 $e^{4}$ 处和在 $1$ 处的值。

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 5.3.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.3.3

约去公因数。

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.3.4

重写表达式。

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

解题步骤 5.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 e^{4} - 4$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 e^{4} - 4$

小数形式：

$214.39260013 \dots$

解题步骤 7

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