微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x$

解题步骤 2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $x e^{x}$ 在 $\ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{\ln (2)})$

解题步骤 3.2

计算 $e^{x}$ 在 $\ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (2) e^{\ln (2)}) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\ln (2) \cdot 2 + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $\ln (2)$ 的左侧。

$2 \cdot \ln (2) + 0 e^{0} - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 \ln (2) + 0 \cdot 1 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (2) + 0 - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.5

将 $2 \ln (2)$ 和 $0$ 相加。

$2 \ln (2) - ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 3.3.6

指数函数和对数函数互为反函数。

$2 \ln (2) - (2 - e^{0})$

解题步骤 3.3.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 \ln (2) - (2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (2) - (2 - 1)$

解题步骤 3.3.9

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \ln (2) - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (2) - 1$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (2) - 1$

小数形式：

$0.38629436 \dots$

解题步骤 5

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