微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \ln (2)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2)$ 。

$u_{upper} = \ln (2^{2})$

解题步骤 1.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = \ln (4)$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\ln (4)} e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\ln (4)} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\ln (4)} e^{u} d u$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{\ln (4)}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $e^{u}$ 在 $\ln (4)$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((e^{\ln (4)}) - e^{0})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (4 - e^{0})$

解题步骤 5.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - 1)$

解题步骤 5.2.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 3$

解题步骤 5.2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{2}$

小数形式：

$1.5$

带分数形式：

$1 \frac{1}{2}$

解题步骤 7

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