微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 7 \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$7 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

计算 $\sec (x)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$7 (\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0))$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$7 (\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0))$

解题步骤 3.2.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$7 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (\frac{2}{\sqrt{2}} - 1)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$7 \frac{2}{\sqrt{2}} + 7 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2

乘以 $7 \frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $7$ 和 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{7 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 7 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14}{\sqrt{2}} + 7 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{14}{\sqrt{2}} - 7$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{14}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{14}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 7$

解题步骤 3.4.2

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $\frac{14}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{14 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 7$

解题步骤 3.4.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{14 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 7$

解题步骤 3.4.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{14 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 7$

解题步骤 3.4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 7$

解题步骤 3.4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{14 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{14 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{14 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{14 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{14 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{14 \sqrt{2}}{2^{1}} - 7$

解题步骤 3.4.2.6.5

计算指数。

$\frac{14 \sqrt{2}}{2} - 7$

解题步骤 3.4.3

约去 $14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $14 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{2})}{2} - 7$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{2})}{2 (1)} - 7$

解题步骤 3.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (7 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} - 7$

解题步骤 3.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{2}}{1} - 7$

解题步骤 3.4.3.2.4

用 $7 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$7 \sqrt{2} - 7$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$7 \sqrt{2} - 7$

小数形式：

$2.89949493 \dots$

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