微积分学示例

$\int x {(x - 4)}^{9} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u + 4) u^{9} d u$

解题步骤 2

乘以 $(u + 4) u^{9}$ 。

$\int u \cdot u^{9} + 4 u^{9} d u$

解题步骤 3

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{9}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $u$ 乘以 $u^{9}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{9} + 4 u^{9} d u$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 9} + 4 u^{9} d u$

解题步骤 3.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$\int u^{10} + 4 u^{9} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{10} d u + \int 4 u^{9} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{10}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{11} u^{11}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int 4 u^{9} d u$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 \int u^{9} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + C + 4 (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{11} u^{11} + 4 (\frac{1}{10}) u^{10} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{4}{10} u^{10} + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $4$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 (2)}{10} u^{10} + C$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} u^{10} + C$

解题步骤 8.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{11} u^{11} + \frac{2}{5} u^{10} + C$

解题步骤 9

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{11} {(x - 4)}^{11} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{10} + C$

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