微积分学示例

$\int \cot (x) \ln (\sin (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \ln (\sin (x))$ 。然后使 $d u_{2} = \cot (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cot (x)} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \ln (\sin (x))$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (\sin (x))$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\csc (x) \cos (x)$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

重新排序 $\csc (x) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (x) \csc (x)$

解题步骤 1.1.5.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.1.5.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.1.5.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\cot (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 3

使用 $\ln (\sin (x))$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (\sin (x)) + C$

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