微积分学示例

$\int_{- 3}^{2} x^{2} + x - 6 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} - 6 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}$ 和 $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + - 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 5.1.2

组合 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ 和 $- 6 x]_{- 3}^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x]_{- 3}^{2}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ 在 $2$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.9.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 + 6}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $8$ 和 $6$ 相加。

$\frac{14}{3} - 6 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.10

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14}{3} - 12 - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.11

要将 $- 12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.12

组合 $- 12$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.13

在公分母上合并分子。

$\frac{14 - 12 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.14

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.14.1

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{14 - 36}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.14.2

从 $14$ 中减去 $36$ 。

$\frac{- 22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.16

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{22}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.17

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 27$ 。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 27}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.18

约去 $- 27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.18.1

从 $- 27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.18.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.18.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.18.2.2

约去公因数。

$- \frac{22}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.18.2.3

重写表达式。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{1} + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.18.2.4

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.19

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.20

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$- \frac{22}{3} - (- 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.21

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22}{3} - (- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.22

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.23

在公分母上合并分子。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9 \cdot 2 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.24

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.24.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 18 + 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.24.2

将 $- 18$ 和 $9$ 相加。

$- \frac{22}{3} - (\frac{- 9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.25

将负号移到分数的前面。

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3)$

解题步骤 5.2.2.26

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18)$

解题步骤 5.2.2.27

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.2.28

组合 $18$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22}{3} - (- \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.2.29

在公分母上合并分子。

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 18 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.30

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.30.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{22}{3} - \frac{- 9 + 36}{2}$

解题步骤 5.2.2.30.2

将 $- 9$ 和 $36$ 相加。

$- \frac{22}{3} - \frac{27}{2}$

解题步骤 5.2.2.31

要将 $- \frac{22}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

解题步骤 5.2.2.32

要将 $- \frac{27}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{22}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.33

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.2.2.33.1

将 $\frac{22}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{22 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.33.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.33.3

将 $\frac{27}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2.2.33.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.2.2.34

在公分母上合并分子。

$\frac{- 22 \cdot 2 - 27 \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.2.2.35

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.35.1

将 $- 22$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 44 - 27 \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.2.2.35.2

将 $- 27$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 44 - 81}{6}$

解题步骤 5.2.2.35.3

从 $- 44$ 中减去 $81$ 。

$\frac{- 125}{6}$

解题步骤 5.2.2.36

将负号移到分数的前面。

$- \frac{125}{6}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{125}{6}$

小数形式：

$- 20.8\overline{3}$

带分数形式：

$- 20 \frac{5}{6}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例