微积分学示例

$\int_{2}^{4} x^{2} - 6 x + 9 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 6 x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

解题步骤 3

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 9 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 9 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 9 x]_{2}^{4}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$ 和 $9 x]_{2}^{4}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{2}^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 9 \cdot 4) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} + 9 \cdot 4 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{64}{3} + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

要将 $36$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + 36 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

组合 $36$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{64 + 36 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.7.1

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$\frac{64 + 108}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7.2

将 $64$ 和 $108$ 相加。

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{172}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 9 \cdot 2) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.11

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.12

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{172}{3} - (\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.14

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{172}{3} - \frac{8 + 54}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.14.2

将 $8$ 和 $54$ 相加。

$\frac{172}{3} - \frac{62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{172 - 62}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.16

从 $172$ 中减去 $62$ 。

$\frac{110}{3} - 6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.17

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.18.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.2

约去公因数。

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.3

重写表达式。

$\frac{110}{3} - 6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.18.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.19

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{4}{2})$

解题步骤 7.2.3.20

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.20.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 7.2.3.20.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

解题步骤 7.2.3.20.2.2

约去公因数。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.3.20.2.3

重写表达式。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - \frac{2}{1})$

解题步骤 7.2.3.20.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 7.2.3.21

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 (8 - 2)$

解题步骤 7.2.3.22

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$\frac{110}{3} - 6 \cdot 6$

解题步骤 7.2.3.23

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{110}{3} - 36$

解题步骤 7.2.3.24

要将 $- 36$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{110}{3} - 36 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.25

组合 $- 36$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{110}{3} + \frac{- 36 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.26

在公分母上合并分子。

$\frac{110 - 36 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.27

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.27.1

将 $- 36$ 乘以 $3$ 。

$\frac{110 - 108}{3}$

解题步骤 7.2.3.27.2

从 $110$ 中减去 $108$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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