微积分学示例

$\int_{- 4}^{2} x^{2} + 2 x - 8 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 4}^{2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} 2 x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 \int_{- 4}^{2} x d x + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \int_{- 4}^{2} - 8 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + - 8 x]_{- 4}^{2}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{2}$ 和 $- 8 x]_{- 4}^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 8 x]_{- 4}^{2}$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{1}{3} x^{3} - 8 x$ 在 $2$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.2.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.2.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (2 - \frac{16}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.4

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.4.2.2

约去公因数。

$2 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.4.2.3

重写表达式。

$2 (2 - \frac{8}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.4.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$2 (2 - 1 \cdot 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$2 (2 - 8) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.6

从 $2$ 中减去 $8$ 。

$2 \cdot - 6 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- 12 + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 8 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 12 + \frac{1}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$- 12 + \frac{8}{3} - 8 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.10

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.11

要将 $- 16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 12 + \frac{8}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.12

组合 $- 16$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 12 + \frac{8}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.13

在公分母上合并分子。

$- 12 + \frac{8 - 16 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.14

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.14.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$- 12 + \frac{8 - 48}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.14.2

从 $8$ 中减去 $48$ 。

$- 12 + \frac{- 40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.15

将负号移到分数的前面。

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.16

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 64 - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.17

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 64$ 。

$- 12 - \frac{40}{3} - (\frac{- 64}{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.18

将负号移到分数的前面。

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} - 8 \cdot - 4)$

解题步骤 7.2.3.19

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32)$

解题步骤 7.2.3.20

要将 $32$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 7.2.3.21

组合 $32$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 12 - \frac{40}{3} - (- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3})$

解题步骤 7.2.3.22

在公分母上合并分子。

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.23

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.23.1

将 $32$ 乘以 $3$ 。

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{- 64 + 96}{3}$

解题步骤 7.2.3.23.2

将 $- 64$ 和 $96$ 相加。

$- 12 - \frac{40}{3} - \frac{32}{3}$

解题步骤 7.2.3.24

在公分母上合并分子。

$- 12 + \frac{- 40 - 32}{3}$

解题步骤 7.2.3.25

从 $- 40$ 中减去 $32$ 。

$- 12 + \frac{- 72}{3}$

解题步骤 7.2.3.26

约去 $- 72$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.26.1

从 $- 72$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3}$

解题步骤 7.2.3.26.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.26.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 (1)}$

解题步骤 7.2.3.26.2.2

约去公因数。

$- 12 + \frac{3 \cdot - 24}{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.3.26.2.3

重写表达式。

$- 12 + \frac{- 24}{1}$

解题步骤 7.2.3.26.2.4

用 $- 24$ 除以 $1$ 。

$- 12 - 24$

解题步骤 7.2.3.27

从 $- 12$ 中减去 $24$ 。

$- 36$

解题步骤 8

微积分学 示例

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