微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{2 x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{2}{3} d x$ ，以便 $\frac{3}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{2 x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{2 x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{2 x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $2 \cdot 0$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

解题步骤 1.3.1.2.2

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.2.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

解题步骤 1.3.1.2.4

用 $2 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{2 x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

解题步骤 1.5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.5.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 π}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

解题步骤 1.5.2.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

解题步骤 1.5.2.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2}{3}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

解题步骤 2.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

解题步骤 2.4

将 $3$ 移到 $\cos (u)$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

解题步骤 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 5

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

解题步骤 6.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

解题步骤 6.4

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

小数形式：

$1.29903810 \dots$

微积分学 示例

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