微积分学示例

$\int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x - 4$ ， $d v = \sqrt[3]{x}$ 。

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ 。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $x^{\frac{7}{3}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

解题步骤 5.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

解题步骤 5.2.4

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.5

要将 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $28$ 的形式。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.6.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.7

在公分母上合并分子。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.8

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.9

从 $21 x^{\frac{7}{3}}$ 中减去 $9 x^{\frac{7}{3}}$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

解题步骤 5.2.10

从 $12 x^{\frac{7}{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

解题步骤 5.2.11

约去公因数。

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解题步骤 5.2.11.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

解题步骤 5.2.11.2

约去公因数。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

解题步骤 5.2.11.3

重写表达式。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

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