微积分学示例

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

解题步骤 1.1.1.3

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

重写多项式。

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.5

约去 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $A x + B$ 除以 $1$ 。

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.2

约去 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 和 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.1

从 $(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.6.2.2.2

约去公因数。

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.6.2.2.3

重写表达式。

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

解题步骤 1.1.6.2.2.4

用 $(C x + D) (x^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(C x + D) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1

运用分配律。

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6.3.2

运用分配律。

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.1.6.3.3

运用分配律。

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

解题步骤 1.1.6.4.3

将 $D$ 乘以 $1$ 。

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

解题步骤 1.1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.7.1

移动 $B$ 。

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

解题步骤 1.1.7.2

移动 $C x$ 。

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

解题步骤 1.1.7.3

移动 $A x$ 。

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = D$

解题步骤 1.2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + C$

解题步骤 1.2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + D$

解题步骤 1.2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将方程重写为 $D = 0$ 。

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.2.2

使用 $0$ 替换 $1 = A + C$ 中所有出现的 $C$ .

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.2.3

化简 $1 = A + 0$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.2.3.1.1

去掉圆括号。

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

将 $A$ 和 $0$ 相加。

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.3

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

解题步骤 1.3.3.2

使用 $0$ 替换 $0 = B + D$ 中所有出现的 $D$ .

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.3.3

化简 $0 = B + 0$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

去掉圆括号。

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

将 $B$ 和 $0$ 相加。

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4

将方程重写为 $B = 0$ 。

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5

求解方程组。

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

解题步骤 1.3.6

列出所有解。

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3

用 $0$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

解题步骤 1.5.4

去掉表达式中的零。

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{u}$ 。

$- \frac{1}{2 u} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$

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