微积分学示例

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\cos^{3} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

因式分解出 $\cos^{2} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

解题步骤 6.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $\sin (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

解题步骤 12.2

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\sin^{3} (4 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (4 x)$ 。

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

解题步骤 13.4

乘以 $\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ 。

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

解题步骤 13.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$

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