微积分学示例

$\int \sec^{5} (x) d x$

解题步骤 1

应用归约公式。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 2

从 $\sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (x)$ ， $d v = \sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x)$

解题步骤 4

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 7.2

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x)$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x)$

解题步骤 9

通过相乘进行化简。

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解题步骤 9.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x)$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

解题步骤 9.3

将 $\sec (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x)$

解题步骤 10

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 11

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x)$

解题步骤 13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x)$

解题步骤 14

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x)$

解题步骤 15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x)$

解题步骤 16

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 17

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

解题步骤 18

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x))$

解题步骤 19

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x))$

解题步骤 20

通过相乘进行化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 20.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 21

求解 $\int \sec^{3} (x) d x$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 22

将 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3}{4} (\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 23

化简。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

要将 $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 24.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 24.2.1

将 $\frac{\tan (x) \sec^{3} (x)}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 24.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2}{8} + \frac{3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 24.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\tan (x) \sec^{3} (x) \cdot 2 + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 24.4

将 $2$ 移到 $\tan (x) \sec^{3} (x)$ 的左侧。

$\frac{2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))}{8} + C$

解题步骤 25

重新排序项。

$\frac{1}{8} (2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |))) + C$

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