微积分学示例

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

解题步骤 1.1.1.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.4

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 1)$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.1.2

重写表达式。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.2.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2.2

用 $(x + 1) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.5.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.5.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.7.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $A (x^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7.4

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.7.4.1

约去公因数。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.7.4.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

解题步骤 1.1.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.7.6.1

移动 $x$ 。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

解题步骤 1.1.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

解题步骤 1.1.8

移动 $A$ 。

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

解题步骤 1.3.2

将方程重写为 $A = - 1$ 。

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

解题步骤 1.3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

使用 $- 1$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

解题步骤 1.3.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.2.1

去掉圆括号。

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4

在 $1 = - 1 + B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $- 1 + B = 1$ 。

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

解题步骤 1.3.4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

解题步骤 1.3.5

求解方程组。

$B = 2 A = - 1 C = 0$

解题步骤 1.3.6

列出所有解。

$B = 2, A = - 1, C = 0$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

去掉圆括号。

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.3

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

解题步骤 11

化简。

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

解题步骤 12

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例