微积分学示例

$y = 4 x^{3} + 5 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 5 (2 x)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 10 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 x^{2} + 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [10 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x + 10 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x + 10 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 24 x + 10$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $24 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [24 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.2.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$24 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 24$

解题步骤 4

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 0$

微积分学 示例

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