微积分学示例

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.7.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.9

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

重新排序项。

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2.3

移动 $e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.2.4

从 $- 4 x e^{- x^{2}}$ 中减去 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.4.4

将 $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ 。

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 4 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 4 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.8.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.2.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.12

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.3.13

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$f''' (x) = 4 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.3

合并项。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 (e^{- x^{2}} (x^{2})) - 6 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x^{2} + 12 (x^{2} (e^{- x^{2}})) - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $12 e^{- x^{2}} x^{2}$ 和 $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ 相加。

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解题步骤 3.4.3.4.1

移动 $e^{- x^{2}}$ 。

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} + 12 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.3.4.2

将 $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ 和 $12 x^{2} e^{- x^{2}}$ 相加。

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$f''' (x) = - 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 3.4.5

将 $- 8 e^{- x^{2}} x^{4} + 24 e^{- x^{2}} x^{2} - 6 e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = - 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- 8 x^{4} e^{- x^{2}} + 24 x^{2} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{4} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x^{2}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{4} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.8

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 8 (x \cdot x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{1 + 4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.8.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.2.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (24 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{2} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.8.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.3.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{- x^{2}})$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} e^{- x^{2}}$

解题步骤 4.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 4.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 4.4.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 4.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2}))$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

解题步骤 4.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 6 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

解题步骤 4.4.6

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - 8 (x^{5} (- 2 e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3

合并项。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = 16 (x^{5} (e^{- x^{2}})) - 8 (e^{- x^{2}} (4 x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.2

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 (e^{- x^{2}} (x^{3})) + 24 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.3

将 $- 2$ 乘以 $24$ 。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 24 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.4

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 e^{- x^{2}} x^{3} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 (e^{- x^{2}} (x)) + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.5

从 $- 32 e^{- x^{2}} x^{3}$ 中减去 $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.5.3.5.1

移动 $e^{- x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 32 x^{3} e^{- x^{2}} - 48 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.5.2

从 $- 32 x^{3} e^{- x^{2}}$ 中减去 $48 x^{3} e^{- x^{2}}$ 。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 48 e^{- x^{2}} x + 12 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.3.6

将 $48 e^{- x^{2}} x$ 和 $12 e^{- x^{2}} x$ 相加。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.4

重新排序项。

$f^{4} (x) = 16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 4.5.5

将 $16 e^{- x^{2}} x^{5} - 80 e^{- x^{2}} x^{3} + 60 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = 16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$ 。

$16 x^{5} e^{- x^{2}} - 80 x^{3} e^{- x^{2}} + 60 x e^{- x^{2}}$

微积分学 示例

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