微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} + 8)}^{9}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 8$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (8))$

解题步骤 1.2.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 8)}^{8} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序 $18 {(x^{2} + 8)}^{8} x$ 的因式。

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x {(x^{2} + 8)}^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{8}]$ 。

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{8})$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{8}$ 。

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{8}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 8$ 。

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 8)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 ${(x^{2} + 8)}^{8}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7}) + {(x^{2} + 8)}^{8})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

解题步骤 2.11.2

将 $16$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 8)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

解题步骤 2.11.3

从 $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7} + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $288 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{7}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{8}$

解题步骤 2.11.3.2

从 $18 {(x^{2} + 8)}^{8}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$

解题步骤 2.11.3.3

从 $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{7}$ 。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 8)$

解题步骤 2.11.4

将 $16 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 {(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8)]$ 。

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 x^{2} + 8))$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 8)}^{7}$ 且 $g (x) = 17 x^{2} + 8$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 8) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $17 x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.2

因为 $17$ 对于 $x$ 是常数，所以 $17 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $17$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (8)) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.5

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $34 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 8)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.3.6.2

将 $34$ 移到 ${(x^{2} + 8)}^{7}$ 的左侧。

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + (17 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{7}))$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 8$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (17 x^{2} + 8) (7 {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)))$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $7$ 移到 $17 x^{2} + 8$ 的左侧。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8))$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (8)))$

解题步骤 3.5.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x + 0))$

解题步骤 3.5.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} (2 x))$

解题步骤 3.5.5.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6.3

将 $34$ 乘以 $18$ 。

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 8)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6.4

将 $17$ 乘以 $14$ 。

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 8) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6.5

将 $14$ 乘以 $8$ 。

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x)$

解题步骤 3.6.6

从 $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 。

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解题步骤 3.6.6.1

从 $612 {(x^{2} + 8)}^{7} x$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$

解题步骤 3.6.6.2

从 $18 (238 x^{2} + 112) {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$

解题步骤 3.6.6.3

从 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8)) + 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (238 x^{2} + 112)$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x$ 。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

解题步骤 3.6.7

重新排序 $18 {(x^{2} + 8)}^{6} x (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$ 的因式。

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 (x^{2} + 8) + 238 x^{2} + 112)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 8 + 238 x^{2} + 112))$

解题步骤 4.1.1.2

将 $34$ 乘以 $8$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (34 x^{2} + 272 + 238 x^{2} + 112))$

解题步骤 4.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $34 x^{2}$ 和 $238 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 272 + 112))$

解题步骤 4.1.2.2

将 $272$ 和 $112$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

解题步骤 4.1.3

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384)]$ 。

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 x^{2} + 384))$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x {(x^{2} + 8)}^{6}$ 且 $g (x) = 272 x^{2} + 384$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 384) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

根据加法法则， $272 x^{2} + 384$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3.2

因为 $272$ 对于 $x$ 是常数，所以 $272 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 乘以 $272$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (384)) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3.5

因为 $384$ 对于 $x$ 是常数，所以 $384$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.3.6

将 $544 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 8)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.7.2

将 $544$ 移到 $x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6}) + (272 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 4.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 8)}^{6}$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 8)}^{6}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 4.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 8$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.9.3

使用 $x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 8)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10

求微分。

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解题步骤 4.10.1

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (8))) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.4

化简表达式。

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解题步骤 4.10.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (6 {(x^{2} + 8)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.10.4.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x (12 {(x^{2} + 8)}^{5} x) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6} \cdot 1))$

解题步骤 4.16

将 ${(x^{2} + 8)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$ 。

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 8)}^{6} + (272 x^{2} + 384) (x^{2} (12 {(x^{2} + 8)}^{5}) + {(x^{2} + 8)}^{6}))$

微积分学 示例

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