微积分学示例

$y = 10 x^{3} + 9 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $10 x^{3} + 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$30 x^{2} + 9 (2 x)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f' (x) = 30 x^{2} + 18 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $30 x^{2} + 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$60 x + \frac{d}{d x} [18 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$60 x + 18 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$60 x + 18 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 60 x + 18$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $60 x + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [60 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]$

解题步骤 3.2.3

将 $60$ 乘以 $1$ 。

$60 + \frac{d}{d x} [18]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$60 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $60$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 60$

解题步骤 4

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 0$

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