微积分学示例

$\int (x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{1}{x} - 5)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\int x^{3} (\frac{1}{x} - 5) - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} (\frac{1}{x} - 5) d x$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\int x^{3} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.1.2

约去公因数。

$\int x \cdot x^{2} \frac{1}{x} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.1.3

重写表达式。

$\int x^{2} + x^{3} \cdot - 5 - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- 5$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\int x^{2} - 5 \cdot x^{3} - 2 x^{2} \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.3.2

约去公因数。

$\int x^{2} - 5 x^{3} + x (- 2 x) \frac{1}{x} - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.3.3

重写表达式。

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x - 2 x^{2} \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$\int x^{2} - 5 x^{3} - 2 x + 10 x^{2} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$\int 11 x^{2} - 5 x^{3} - 2 x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 11 x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 3

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$11 \int x^{2} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 5

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int - 2 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x d x$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$11 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - 2 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- 2 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2} + C$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{- x^{2}}{1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.4

用 $- x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{11 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{4}}{4} - x^{2} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{11}{3} x^{3} - \frac{5}{4} x^{4} - x^{2} + C$

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