微积分学示例

$\int (x - 1) \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

展开 $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例