微积分学示例

$12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{5}$ 。

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{5}] + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{2} + 10$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 10$ 。

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $x^{2} + 10$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$12 (x (10 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \cdot 1)$

解题步骤 1.10

将 ${(x^{2} + 10)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5})$

解题步骤 1.11

化简。

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解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

解题步骤 1.11.2

将 $10$ 乘以 $12$ 。

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

解题步骤 1.11.3

从 $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4} + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 。

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解题步骤 1.11.3.1

从 $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4}$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

解题步骤 1.11.3.2

从 $12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$

解题步骤 1.11.3.3

从 $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 10)$

解题步骤 1.11.4

将 $10 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 10)}^{4}$ 且 $g (x) = 11 x^{2} + 10$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10] + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $11 x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x + \frac{d}{d x} [10]) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.5

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x + 0) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $22 x$ 和 $0$ 相加。

$12 ({(x^{2} + 10)}^{4} (22 x) + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.3.6.2

将 $22$ 移到 ${(x^{2} + 10)}^{4}$ 的左侧。

$12 (22 \cdot {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{4}])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 10$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 10$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 10$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (11 x^{2} + 10) (4 {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]))$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $4$ 移到 $11 x^{2} + 10$ 的左侧。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 \cdot (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10])$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]))$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [10]))$

解题步骤 2.5.4

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x + 0))$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 4 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} (2 x))$

解题步骤 2.5.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 8 (11 x^{2} + 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x + (8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$12 (22 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + 12 ((8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6.3

将 $22$ 乘以 $12$ 。

$264 ({(x^{2} + 10)}^{4} x) + 12 ((8 (11 x^{2}) + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6.4

将 $11$ 乘以 $8$ 。

$264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 ((88 x^{2} + 8 \cdot 10) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6.5

将 $8$ 乘以 $10$ 。

$264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 ((88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x)$

解题步骤 2.6.6

从 $264 {(x^{2} + 10)}^{4} x + 12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 。

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解题步骤 2.6.6.1

从 $264 {(x^{2} + 10)}^{4} x$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$

解题步骤 2.6.6.2

从 $12 (88 x^{2} + 80) {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (88 x^{2} + 80)$

解题步骤 2.6.6.3

从 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10)) + 12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (88 x^{2} + 80)$ 中分解出因数 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x$ 。

$12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$

解题步骤 2.6.7

重新排序 $12 {(x^{2} + 10)}^{3} x (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$ 的因式。

$f'' (x) = 12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 (x^{2} + 10) + 88 x^{2} + 80)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 x^{2} + 22 \cdot 10 + 88 x^{2} + 80)]$

解题步骤 3.1.1.2

将 $22$ 乘以 $10$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (22 x^{2} + 220 + 88 x^{2} + 80)]$

解题步骤 3.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $22 x^{2}$ 和 $88 x^{2}$ 相加。

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 220 + 80)]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $220$ 和 $80$ 相加。

$\frac{d}{d x} [12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$

解题步骤 3.1.3

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 x^{2} + 300)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x {(x^{2} + 10)}^{3}$ 且 $g (x) = 110 x^{2} + 300$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [110 x^{2} + 300] + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $110 x^{2} + 300$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [110 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (\frac{d}{d x} [110 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $110$ 对于 $x$ 是常数，所以 $110 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $110 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (110 (2 x) + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $110$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x + \frac{d}{d x} [300]) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3.5

因为 $300$ 对于 $x$ 是常数，所以 $300$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x + 0) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.3.6

将 $220 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (x {(x^{2} + 10)}^{3} (220 x) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x^{1} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 220 + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.7.2

将 $220$ 移到 $x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}$ 的左侧。

$12 (220 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + (110 x^{2} + 300) \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{3}])$

解题步骤 3.8

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{3}$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{3}] + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 10$ 。

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解题步骤 3.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 10$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.9.3

使用 $x^{2} + 10$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.10

求微分。

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解题步骤 3.10.1

根据加法法则， $x^{2} + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.10.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.10.4

化简表达式。

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解题步骤 3.10.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (3 {(x^{2} + 10)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.10.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x (6 {(x^{2} + 10)}^{2} x) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1} x (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3} \cdot 1))$

解题步骤 3.16

将 ${(x^{2} + 10)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17

化简。

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解题步骤 3.17.1

运用分配律。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.2

将 $220$ 乘以 $12$ 。

$2640 (x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.3

从 $2640 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + 12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 3.17.3.1

从 $2640 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$

解题步骤 3.17.3.2

从 $12 (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3})$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.3.3

从 $12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3}) + 12 ((110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (220 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{3} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.1

使用二项式定理。

$12 (220 x^{2} ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.2.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.17.4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.17.4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 100 + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.5

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 10^{3}) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.2.6

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 (220 x^{2} (x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000) + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.3

运用分配律。

$12 (220 x^{2} x^{6} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4

化简。

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解题步骤 3.17.4.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.17.4.4.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$12 (220 (x^{6} x^{2}) + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{6 + 2} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4.1.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 220 x^{2} (30 x^{4}) + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 x^{2} (300 x^{2}) + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220 x^{2} \cdot 1000 + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.4.4

将 $1000$ 乘以 $220$ 。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{2} x^{4} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.17.4.5.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 (x^{4} x^{2}) + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{4 + 2} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 220 \cdot 30 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.2

将 $220$ 乘以 $30$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2} x^{2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.17.4.5.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 (x^{2} x^{2}) + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{2 + 2} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 220 \cdot 300 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.5.4

将 $220$ 乘以 $300$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (x^{2} (6 {(x^{2} + 10)}^{2}) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.2

将 ${(x^{2} + 10)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 10) (x^{2} + 10)$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} ((x^{2} + 10) (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 10) (x^{2} + 10)$ 。

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解题步骤 3.17.4.6.3.1

运用分配律。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} (x^{2} + 10) + 10 (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.3.2

运用分配律。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 10 + 10 (x^{2} + 10)) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.3.3

运用分配律。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.17.4.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.6.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.17.4.6.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + x^{2} \cdot 10 + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.4.1.2

将 $10$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 10 \cdot x^{2} + 10 x^{2} + 10 \cdot 10) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.4.1.3

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 10 x^{2} + 10 x^{2} + 100) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.4.2

将 $10 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} (x^{4} + 20 x^{2} + 100) + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.5

运用分配律。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{2} x^{4} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.6

化简。

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解题步骤 3.17.4.6.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.17.4.6.6.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 (x^{4} x^{2}) + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{4 + 2} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.6.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 x^{2} (20 x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} \cdot 100 + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.6.3

将 $100$ 乘以 $6$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2} x^{2} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.7

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.6.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.17.4.6.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 (x^{2} x^{2}) + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{2 + 2} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.7.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 6 \cdot 20 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.7.2

将 $6$ 乘以 $20$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2} + 10)}^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.8

使用二项式定理。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.6.9.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.17.4.6.9.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.17.4.6.9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 3 x^{4} \cdot 10 + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 10^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 100 + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.5

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 10^{3}))$

解题步骤 3.17.4.6.9.6

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (6 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + x^{6} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000))$

解题步骤 3.17.4.7

将 $6 x^{6}$ 和 $x^{6}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 120 x^{4} + 600 x^{2} + 30 x^{4} + 300 x^{2} + 1000))$

解题步骤 3.17.4.8

将 $120 x^{4}$ 和 $30 x^{4}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 600 x^{2} + 300 x^{2} + 1000))$

解题步骤 3.17.4.9

将 $600 x^{2}$ 和 $300 x^{2}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + (110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 900 x^{2} + 1000))$

解题步骤 3.17.4.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(110 x^{2} + 300) (7 x^{6} + 150 x^{4} + 900 x^{2} + 1000)$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 x^{2} (7 x^{6}) + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11

化简每一项。

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解题步骤 3.17.4.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{2} x^{6} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.17.4.11.2.1

移动 $x^{6}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 (x^{6} x^{2}) + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{6 + 2} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.2.3

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 110 \cdot 7 x^{8} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.3

将 $110$ 乘以 $7$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 x^{2} (150 x^{4}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.4

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{2} x^{4} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.17.4.11.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 (x^{4} x^{2}) + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{4 + 2} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.5.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 110 \cdot 150 x^{6} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.6

将 $110$ 乘以 $150$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 x^{2} (900 x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.7

使用乘法的交换性质重写。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{2} x^{2} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.17.4.11.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 (x^{2} x^{2}) + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{2 + 2} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.8.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 110 \cdot 900 x^{4} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.9

将 $110$ 乘以 $900$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110 x^{2} \cdot 1000 + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.10

将 $1000$ 乘以 $110$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 300 (7 x^{6}) + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.11

将 $7$ 乘以 $300$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 300 (150 x^{4}) + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.12

将 $150$ 乘以 $300$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 300 (900 x^{2}) + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.13

将 $900$ 乘以 $300$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300 \cdot 1000)$

解题步骤 3.17.4.11.14

将 $300$ 乘以 $1000$ 。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 16500 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 2100 x^{6} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.4.12

将 $16500 x^{6}$ 和 $2100 x^{6}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 99000 x^{4} + 110000 x^{2} + 45000 x^{4} + 270000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.4.13

将 $99000 x^{4}$ 和 $45000 x^{4}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 110000 x^{2} + 270000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.4.14

将 $110000 x^{2}$ 和 $270000 x^{2}$ 相加。

$12 (220 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 770 x^{8} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.5

将 $220 x^{8}$ 和 $770 x^{8}$ 相加。

$12 (990 x^{8} + 6600 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 18600 x^{6} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.6

将 $6600 x^{6}$ 和 $18600 x^{6}$ 相加。

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 66000 x^{4} + 220000 x^{2} + 144000 x^{4} + 380000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.7

将 $66000 x^{4}$ 和 $144000 x^{4}$ 相加。

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 210000 x^{4} + 220000 x^{2} + 380000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.8

将 $220000 x^{2}$ 和 $380000 x^{2}$ 相加。

$12 (990 x^{8} + 25200 x^{6} + 210000 x^{4} + 600000 x^{2} + 300000)$

解题步骤 3.17.9

运用分配律。

$12 (990 x^{8}) + 12 (25200 x^{6}) + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

解题步骤 3.17.10

化简。

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解题步骤 3.17.10.1

将 $990$ 乘以 $12$ 。

$11880 x^{8} + 12 (25200 x^{6}) + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

解题步骤 3.17.10.2

将 $25200$ 乘以 $12$ 。

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 12 (210000 x^{4}) + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

解题步骤 3.17.10.3

将 $210000$ 乘以 $12$ 。

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 12 (600000 x^{2}) + 12 \cdot 300000$

解题步骤 3.17.10.4

将 $600000$ 乘以 $12$ 。

$11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 12 \cdot 300000$

解题步骤 3.17.10.5

将 $12$ 乘以 $300000$ 。

$f''' (x) = 11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 3600000$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $11880 x^{8} + 302400 x^{6} + 2520000 x^{4} + 7200000 x^{2} + 3600000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11880 x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$ 。

$\frac{d}{d x} [11880 x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [11880 x^{8}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $11880$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11880 x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $11880 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$11880 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$11880 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.2.3

将 $8$ 乘以 $11880$ 。

$95040 x^{7} + \frac{d}{d x} [302400 x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [302400 x^{6}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $302400$ 对于 $x$ 是常数，所以 $302400 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $302400 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$95040 x^{7} + 302400 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$95040 x^{7} + 302400 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.3.3

将 $6$ 乘以 $302400$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + \frac{d}{d x} [2520000 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [2520000 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $2520000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2520000 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2520000 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 2520000 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 2520000 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.4.3

将 $4$ 乘以 $2520000$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + \frac{d}{d x} [7200000 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.5

计算 $\frac{d}{d x} [7200000 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $7200000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7200000 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7200000 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 7200000 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 7200000 (2 x) + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.5.3

将 $2$ 乘以 $7200000$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x + \frac{d}{d x} [3600000]$

解题步骤 4.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.6.1

因为 $3600000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3600000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x + 0$

解题步骤 4.6.2

将 $95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 95040 x^{7} + 1814400 x^{5} + 10080000 x^{3} + 14400000 x$

微积分学 示例

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