微积分学示例

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $10 y^{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{9} y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 。

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

解题步骤 1.2.3

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $7 y^{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4} y^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $90 y^{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $90 x^{8} y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $8$ 乘以 $90$ 。

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $28 y^{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 y^{8} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $28$ 。

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $720 y^{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $720 x^{7} y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $7$ 乘以 $720$ 。

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $84 y^{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $84 y^{8} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $84$ 。

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $5040 y^{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5040 x^{6} y^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

解题步骤 4.2.3

将 $6$ 乘以 $5040$ 。

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $168 y^{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $168 y^{8} x$ 对 $x$ 的导数是 $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

解题步骤 4.3.3

将 $168$ 乘以 $1$ 。

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$

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