微积分学示例

$y = 4^{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 4^{x}$ 且 $g (x) = e^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [4^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$4^{u_{1}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (2 x))$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \cdot {(2^{2})}^{e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cdot 2^{2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

解题步骤 4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} \ln (4) (e^{x^{2}} (x))$ 的因式。

$2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$

解题步骤 5.2

将 $2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} x \ln (4)$ 中的因式重新排序。

$x \cdot 2^{1 + 2 e^{x^{2}}} e^{x^{2}} \ln (4)$

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