微积分学示例

$y = {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = 8 x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x^{3} + 7$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 1.3

使用 $8 x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

解题步骤 7

根据加法法则， $8 x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 8

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 10

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 11

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + 0)$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

将 $24 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2})$

解题步骤 12.2

组合 $24$ 和 $\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{24 (3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

解题步骤 12.3

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

解题步骤 12.5

从 $72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

解题步骤 13.4

用 $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

解题步骤 14

重新排序 $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 的因式。

$36 x^{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

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