微积分学示例

${(x y + 1)}^{3} = x - y^{2} + 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x y + 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x - y^{2} + 8)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x y + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x y + 1]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x y + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + 0)$

解题步骤 2.8

将 $x y' + y$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x - y^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 2 y y' + 0$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $1 - 2 y y'$ 和 $0$ 相加。

$1 - 2 y y'$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$- 2 y y' + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + 3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y = - 2 y y' + 1$

解题步骤 5.1.4

将 $3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y$ 中的因式重新排序。

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} = - 2 y y' + 1$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $2 y y'$ 。

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(x y + 1)}^{2}$ 重写为 $(x y + 1) (x y + 1)$ 。

$3 x y' ((x y + 1) (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x y + 1) (x y + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

运用分配律。

$3 x y' (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.2.2

运用分配律。

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.2.3

运用分配律。

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$3 x y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$3 x y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.4

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.3.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 x y' (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.4

运用分配律。

$3 x y' (x^{2} y^{2}) + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5

化简。

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解题步骤 5.2.2.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$3 (x^{2} x) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{2} x^{1}) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{2 + 1} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.5.2.1

移动 $x$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 (x \cdot x) y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.7

将 ${(x y + 1)}^{2}$ 重写为 $(x y + 1) (x y + 1)$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y ((x y + 1) (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.8

使用 FOIL 方法展开 $(x y + 1) (x y + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.2.8.1

运用分配律。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.8.2

运用分配律。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.8.3

运用分配律。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.9.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.2.9.1.1.1

移动 $x$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.9.1.2.1

移动 $y$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.4

将 $x y$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.10

运用分配律。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2}) + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11

化简。

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解题步骤 5.2.2.11.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.11.1.1

移动 $y^{2}$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.1.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.11.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y^{1}) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{2 + 1} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.2.2.11.2.1

移动 $y$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 (y \cdot y) (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.11.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.12

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 \cdot 2 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.2.2.12.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $3 y^{3} x^{2}$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $6 y^{2} x$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4

从 $3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $3 x^{3} y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2}) + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.2

从 $6 x^{2} y' y$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.3

从 $3 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.4

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.5

从 $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.6

从 $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.4.7

从 $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

解题步骤 5.5

将 $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ 中的每一项除以 $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ 中的每一项都除以 $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ 。

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y)}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3.2

合并为一个分式。

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解题步骤 5.5.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 5.5.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

微积分学 示例

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