微积分学示例

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (t) = 11 t - t^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $11 t - t^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $11 t - t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $11 t - t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 3.8

因为 $11$ 对于 $t$ 是常数，所以 $11 t$ 对 $t$ 的导数是 $11 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 3.10

将 $11$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

解题步骤 3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

重新排序 $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ 的因式。

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.14.2

将 $11 - 2 t$ 乘以 $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 3.14.3

将 $2$ 移到 $11 - 2 t$ 的左侧。

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

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